พาราโบลาคือกราฟของฟังก์ชันกำลังสองและเป็นเส้นโค้งรูปตัว "U" เรียบๆ พาราโบลามีความสมมาตรเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าสามารถพับตามแนวเส้นเพื่อให้ทุกจุดที่อยู่ด้านหนึ่งของเส้นพับตรงกับจุดที่สอดคล้องกันในอีกด้านหนึ่งของเส้นพับ เส้นพับที่เรียกว่าแกนสมมาตรเป็นเส้นแนวตั้งที่ผ่านจุดยอด จุดใดๆ บนพาราโบลาจะเท่ากันจากจุดคงที่ (โฟกัส) และเส้นตรงคงที่ (ไดเรกทริกซ์) ในการสร้างกราฟพาราโบลา คุณต้องหาจุดยอดและจุดหลายจุดที่ด้านใดด้านหนึ่งของจุดยอดทั้งสองข้างเพื่อทำเครื่องหมายเส้นทางที่จุดเคลื่อนที่
ขั้นตอน
ส่วนที่ 1 จาก 2: การทำกราฟพาราโบลา
ขั้นตอนที่ 1. ทำความเข้าใจส่วนต่างๆ ของพาราโบลา
คุณอาจได้รับข้อมูลบางอย่างก่อนเริ่มต้น และการรู้คำศัพท์จะช่วยคุณหลีกเลี่ยงขั้นตอนที่ไม่จำเป็น ต่อไปนี้คือส่วนต่างๆ ของพาราโบลาที่คุณจำเป็นต้องรู้:
- โฟกัส. จุดคงที่ที่ด้านในของพาราโบลาที่ใช้สำหรับคำจำกัดความอย่างเป็นทางการของเส้นโค้ง
- ไดเรกทริกซ์. เป็นเส้นตรงคงที่ พาราโบลาคือโลคัส (อนุกรม) ของจุดที่จุดใดจุดหนึ่งมีระยะห่างเท่ากันจากจุดโฟกัสและไดเรกทริกซ์ (ดูแผนภาพด้านบน)
- แกนสมมาตร นี่คือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดหักเห ("จุดยอด") ของพาราโบลาและอยู่ห่างจากจุดที่สอดคล้องกันบนแขนทั้งสองของพาราโบลาเท่ากัน
- จุดยอด จุดที่แกนสมมาตรตัดกับพาราโบลาเรียกว่าจุดยอดของพาราโบลา ถ้าพาราโบลาเปิดขึ้นด้านบนหรือไปทางขวา จุดยอดคือจุดต่ำสุดของเส้นโค้ง หากเปิดขึ้นลงหรือไปทางซ้าย จุดยอดจะเป็นจุดสูงสุด
ขั้นตอนที่ 2 รู้สมการของพาราโบลา
สมการทั่วไปของพาราโบลาคือ y = ax2+ bx + ค. นอกจากนี้ยังสามารถเขียนในรูปแบบทั่วไปมากขึ้น y = a(x – h)² + k แต่เราจะเน้นที่รูปแบบแรกของสมการนี้
- หากสัมประสิทธิ์ a ในสมการเป็นบวก พาราโบลาจะเปิดขึ้น (ในพาราโบลาแนวตั้ง) เช่นเดียวกับตัวอักษร "U" และจุดยอดของมันคือจุดต่ำสุด ถ้า a เป็นลบ พาราโบลาจะเปิดลงและมีจุดยอดที่จุดสูงสุด หากคุณมีปัญหาในการจำสิ่งนี้ ให้คิดแบบนี้: สมการที่มีค่าเป็นบวกจะดูเหมือนรอยยิ้ม สมการที่มีค่าลบดูเหมือนขมวดคิ้ว
- สมมติว่าคุณมีสมการต่อไปนี้: y = 2x2 -1. พาราโบลานี้จะมีรูปร่างเหมือน "U" เพราะค่า (2) เป็นบวก
- หากสมการมีเทอม y กำลังสอง แทนที่จะเป็นเทอมกำลังสอง x พาราโบลาจะถูกจัดวางในแนวนอนและเปิดด้านข้าง ไปทางขวาหรือซ้าย เช่น "C" หรือ "C" ย้อนกลับ ตัวอย่างเช่น พาราโบลา y2 = x + 3 เปิดไปทางขวา เช่น "C"
ขั้นตอนที่ 3 ค้นหาแกนสมมาตร
โปรดจำไว้ว่าแกนสมมาตรเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดหักเห (จุดยอด) ของพาราโบลา ในกรณีของพาราโบลาแนวตั้ง (เปิดขึ้นหรือลง) แกนจะเหมือนกับพิกัด x ของจุดยอด ซึ่งเป็นค่า x ของจุดที่แกนสมมาตรตัดกับพาราโบลา ในการหาแกนสมมาตร ให้ใช้สูตรนี้: x = -b/2a
- ในตัวอย่างข้างต้น (y = 2x² -1) a = 2 และ b = 0 ตอนนี้คุณสามารถคำนวณแกนสมมาตรได้โดยการแทนค่าตัวเลข: x = -0 / (2)(2) = 0
- ในกรณีนี้ แกนสมมาตรคือ x = 0 (ซึ่งเป็นแกน y ของระนาบพิกัด)
ขั้นตอนที่ 4 ค้นหาจุดยอด
เมื่อคุณทราบแกนสมมาตรแล้ว คุณสามารถนำค่านั้นมาแทนค่าของ x เพื่อให้ได้พิกัด y พิกัดทั้งสองนี้จะให้จุดยอดของพาราโบลาแก่คุณ ในกรณีนี้ คุณจะต้องเสียบ 0 เข้ากับ 2x2 -1 เพื่อรับพิกัด y y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1 จุดยอดคือ (0, -1) และพาราโบลาตัดกับแกน y ที่ -1
พิกัดของจุดยอดบางครั้งเรียกว่า (h, k) ในกรณีนี้ h คือ 0, และ k คือ -1 สมการของพาราโบลาสามารถเขียนได้ในรูปแบบ y = a(x – h)² + k ในรูปแบบนี้ จุดยอดคือจุด (h, k) และคุณไม่จำเป็นต้องคำนวณเพื่อหาจุดยอดนอกเหนือจากการตีความกราฟอย่างถูกต้อง
ขั้นตอนที่ 5. ตั้งค่าตารางที่มีค่า x ที่เลือก
สร้างตารางที่มีค่า x เฉพาะในคอลัมน์แรก ตารางนี้จะให้พิกัดที่คุณต้องการเพื่อสร้างกราฟสมการ
- ค่ากลางของ x ควรเป็นแกนสมมาตรในกรณีของพาราโบลา "แนวตั้ง"
- คุณควรใส่ค่า x ที่ด้านบนและด้านล่างอย่างน้อยสองค่าสำหรับ x ในตารางเพื่อความสมมาตร
- ในตัวอย่างนี้ ใส่ค่าของแกนสมมาตร (x = 0) ไว้ตรงกลางตาราง
ขั้นตอนที่ 6 คำนวณค่าของพิกัด y ที่สอดคล้องกัน
แทนค่า x แต่ละค่าในสมการพาราโบลา และคำนวณค่าที่สอดคล้องกันของ y แทรกค่าที่คำนวณได้ของ y ลงในตาราง ในตัวอย่างนี้ ค่าของ y ถูกคำนวณดังนี้:
- สำหรับ x = -2 y คำนวณเป็น: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- สำหรับ x = -1 y คำนวณดังนี้ y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- สำหรับ x = 0, y คำนวณเป็น: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- สำหรับ x = 1 y คำนวณเป็น: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- สำหรับ x = 2 y คำนวณเป็น: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
ขั้นตอนที่ 7 ใส่ค่าที่คำนวณได้ของ y ลงในตาราง
ตอนนี้คุณพบคู่พิกัดอย่างน้อยห้าคู่สำหรับพาราโบลาแล้ว คุณก็เกือบจะพร้อมที่จะสร้างกราฟแล้ว จากงานของคุณ ตอนนี้คุณมีประเด็นต่อไปนี้: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7) จำไว้ว่าพาราโบลาสะท้อน (สมมาตร) เทียบกับแกนสมมาตร ซึ่งหมายความว่าพิกัด y ของจุดตรงข้ามแกนสมมาตรจากกันและกันจะเหมือนกัน พิกัด y สำหรับพิกัด x -2 และ +2 เป็น 7 ทั้งคู่ พิกัด y สำหรับพิกัด x -1 และ +1 เป็นทั้ง 1 และต่อไปเรื่อยๆ
ขั้นตอนที่ 8 พล็อตจุดตารางบนระนาบพิกัด
แต่ละแถวของตารางจะสร้างคู่พิกัด (x, y) บนระนาบพิกัด สร้างกราฟจุดทั้งหมดโดยใช้พิกัดที่ระบุในตาราง
- แกน x เป็นแนวนอน แกน y เป็นแนวตั้ง
- ตัวเลขบวกบนแกน y อยู่เหนือจุด (0, 0) และตัวเลขติดลบบนแกน y อยู่ต่ำกว่าจุด (0, 0)
- ตัวเลขบวกบนแกน x อยู่ทางขวาของจุด (0, 0) และตัวเลขติดลบบนแกน x จะอยู่ทางซ้ายของจุด (0, 0)
ขั้นตอนที่ 9 เชื่อมต่อจุด
ในการสร้างกราฟพาราโบลา ให้เชื่อมต่อจุดที่วางแผนไว้ในขั้นตอนก่อนหน้า กราฟในตัวอย่างนี้จะดูเหมือนตัว U เชื่อมต่อจุดต่างๆ โดยใช้เส้นโค้งเล็กน้อย (แทนที่จะเป็นเส้นตรง) สิ่งนี้จะสร้างภาพพาราโบลาที่แม่นยำที่สุด (ซึ่งอย่างน้อยก็โค้งเล็กน้อยตลอดความยาวของมัน) ที่ปลายทั้งสองของพาราโบลา คุณสามารถวาดลูกศรที่ชี้ออกจากจุดยอดได้หากต้องการ นี่จะบ่งบอกว่าพาราโบลาดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด
ส่วนที่ 2 จาก 2: การเลื่อนกราฟของพาราโบลา
ถ้าคุณต้องการทางลัดในการขยับพาราโบลาโดยไม่ต้องหาจุดยอดอีกครั้งและพล็อตจุดหลายๆ จุดบนนั้น คุณจะต้องเข้าใจวิธีอ่านสมการของพาราโบลาและเรียนรู้ที่จะเลื่อนมันในแนวตั้งหรือแนวนอน เริ่มต้นด้วยพาราโบลาพื้นฐาน: y = x2. ซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0) และเปิดขึ้น คะแนนประกอบด้วย (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) และ (2, 4) คุณสามารถเลื่อนพาราโบลาตามสมการได้
ขั้นตอนที่ 1. เลื่อนพาราโบลาขึ้นด้านบน
พิจารณาสมการ y = x2 +1 สิ่งนี้จะเลื่อนพาราโบลาเดิมขึ้นไป 1 หน่วย จุดยอดตอนนี้คือ (0, 1) แทนที่จะเป็น (0, 0) มันจะรักษารูปร่างที่แน่นอนของพาราโบลาดั้งเดิม แต่ทุกพิกัด y จะเลื่อนขึ้นไป 1 หน่วย ดังนั้น แทนที่จะเป็น (-1, 1) และ (1, 1) เราพล็อต (-1, 2) และ (1, 2)
ขั้นตอนที่ 2. เลื่อนพาราโบลาลงด้านล่าง
หาสมการ y = x2 -1. เรากำลังเลื่อนพาราโบลาเดิมลง 1 หน่วย เพื่อให้จุดยอดเป็น (0, -1) แทนที่จะเป็น (0, 0) มันจะยังคงมีรูปร่างเหมือนพาราโบลาเดิม แต่ทุกพิกัด y จะเลื่อนลงมา 1 หน่วย ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเป็น (-1, 1) และ (1, 1) เราพล็อต (-1, 0) และ (1, 0)
ขั้นตอนที่ 3 เลื่อนพาราโบลาไปทางซ้าย
พิจารณาสมการ y = (x + 1)2. สิ่งนี้จะเลื่อนพาราโบลาเดิมไปทางซ้ายหนึ่งหน่วย จุดยอดตอนนี้คือ (-1, 0) แทนที่จะเป็น (0, 0) มันยังคงรักษารูปร่างของพาราโบลาดั้งเดิมไว้ แต่พิกัด x ทุกอันจะถูกเลื่อนไปทางซ้ายหนึ่งหน่วย ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเป็น (-1, 1) และ (1, 1) เราพล็อต (-2, 1) และ (0, 1)
ขั้นตอนที่ 4 เลื่อนพาราโบลาไปทางขวา
พิจารณาสมการ y = (x - 1)2. นี่คือพาราโบลาดั้งเดิมเลื่อนไปทางขวาหนึ่งหน่วย จุดยอดตอนนี้ (1, 0) แทนที่จะเป็น (0, 0) มันยังคงรูปร่างของพาราโบลาดั้งเดิม แต่พิกัด x ทุกอันจะถูกเลื่อนไปทางขวาหนึ่งหน่วย ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเป็น (-1, 1) และ (1, 1) เราพล็อต (0, 1) และ (2, 1)
