วิธีการสร้างกราฟสมการกำลังสอง: 10 ขั้นตอน (พร้อมรูปภาพ)

2024 ผู้เขียน: Robert Blare | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-02-02 02:08

เมื่อสร้างกราฟ สมการกำลังสองของรูปแบบ ขวาน² + bx + c หรือ ก(x - ส)² + k ให้เส้นโค้งรูปตัวยูเรียบหรือโค้งกลับรูปตัวยูที่เรียกว่าพาราโบลา การสร้างกราฟสมการกำลังสองเป็นเรื่องของการหาจุดยอด ทิศทาง และบ่อยครั้งที่จุดตัด x และ y ของมัน ในกรณีของสมการกำลังสองที่ค่อนข้างง่าย อาจเพียงพอที่จะแทนค่าช่วงของค่า x และวาดเส้นโค้งตามจุดที่เป็นผลลัพธ์ ดูขั้นตอนที่ 1 ด้านล่างเพื่อเริ่มต้น

ขั้นตอน

ขั้นตอนที่ 1 กำหนดรูปแบบสมการกำลังสองที่คุณมี

สมการกำลังสองสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่แตกต่างกันสามรูปแบบ: รูปแบบมาตรฐาน รูปแบบจุดยอด และรูปแบบกำลังสอง คุณสามารถใช้รูปแบบใดรูปแบบหนึ่งเพื่อสร้างกราฟสมการกำลังสอง ขั้นตอนการทำกราฟแต่ละอันแตกต่างกันเล็กน้อย หากคุณกำลังทำการบ้าน คุณมักจะได้รับปัญหาในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งจากสองรูปแบบนี้ กล่าวคือ คุณจะไม่สามารถเลือกได้ ดังนั้นจึงควรทำความเข้าใจทั้งสองแบบให้ดีที่สุด สมการกำลังสองสองรูปแบบคือ:

• แบบฟอร์มมาตรฐาน.

  ในรูปแบบนี้ สมการกำลังสองเขียนเป็น: f(x) = ax² + bx + c โดยที่ a, b และ c เป็นจำนวนจริงและ a ไม่เท่ากับศูนย์

  ตัวอย่างเช่น สมการกำลังสองรูปแบบมาตรฐานสองสมการคือ f(x) = x² + 2x + 1 และ f(x) = 9x² + 10x -8

• แบบฟอร์มจุดยอด

  ในรูปแบบนี้ สมการกำลังสองเขียนเป็น: f(x) = a(x - h)² + k โดยที่ a, h และ k เป็นจำนวนจริงและ a ไม่เท่ากับศูนย์ รูปแบบจุดยอดมีชื่อเช่นนี้เนื่องจาก h และ k ให้จุดยอด (จุดศูนย์กลาง) ของพาราโบลาตรงจุด (h, k) โดยตรง

  สมการรูปแบบจุดยอดสองสมการคือ f(x) = 9(x - 4)² +18 และ -3(x - 5)² + 1

• ในการสร้างกราฟของสมการเหล่านี้ ก่อนอื่นเราต้องหาจุดยอดของพาราโบลา ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลาง (h, k) ที่ "ส่วนปลาย" ของเส้นโค้ง พิกัดของจุดยอดในรูปแบบมาตรฐานถูกกำหนดโดย: h = -b/2a และ k = f(h) ในขณะที่อยู่ในรูปแบบจุดยอด h และ k จะถูกระบุในสมการ

ขั้นตอนที่ 2 กำหนดตัวแปรของคุณ

เพื่อให้สามารถแก้ปัญหาสมการกำลังสอง มักจะต้องกำหนดตัวแปร a, b และ c (หรือ a, h และ k) ปัญหาพีชคณิตโดยเฉลี่ยจะทำให้คุณได้สมการกำลังสองพร้อมตัวแปรที่กรอก โดยปกติจะอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน แต่บางครั้งก็อยู่ในรูปแบบจุดยอด

• ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการรูปแบบมาตรฐาน f(x) = 2x² +16x + 39 เรามี a = 2, b = 16 และ c = 39
• สำหรับสมการรูปแบบจุดยอด f(x) = 4(x - 5)² + 12 เรามี a = 4 h = 5 และ k = 12

ขั้นตอนที่ 3 คำนวณ h

ในสมการรูปแบบจุดยอด ค่าของคุณสำหรับ h ถูกกำหนดไว้แล้ว แต่ในสมการรูปแบบมาตรฐาน จะต้องคำนวณด้วย จำไว้ว่า สำหรับสมการรูปแบบมาตรฐาน h = -b/2a

• ในตัวอย่างรูปแบบมาตรฐานของเรา (f(x) = 2x² +16x + 39), ชั่วโมง = -b/2a = -16/2(2) การแก้เราพบว่า h = - 4.
• ในตัวอย่างรูปแบบจุดยอดของเรา (f(x) = 4(x - 5)² + 12) เรารู้ h = 5 โดยไม่ต้องคำนวณ

ขั้นตอนที่ 4. คำนวณ k

เช่นเดียวกับ h k เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วในสมการรูปแบบจุดยอด สำหรับสมการรูปแบบมาตรฐาน จำไว้ว่า k = f(h) อีกนัยหนึ่ง คุณสามารถค้นหา k ได้โดยการแทนที่ x ทุกตัวอย่างในสมการของคุณด้วยค่าที่คุณเพิ่งพบสำหรับ h

• เราได้กำหนดในตัวอย่างรูปแบบมาตรฐานของเราว่า h = -4 ในการหา k เราแก้สมการด้วยค่า h แทน x:

  • k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2(16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    ขั้นตอนที่ 7

• ในตัวอย่างแบบฟอร์มจุดยอด อีกครั้ง เรารู้ค่าของ k (ซึ่งเท่ากับ 12) โดยไม่ต้องคำนวณใดๆ

ขั้นตอนที่ 5. พล็อตจุดสุดยอดของคุณ

จุดยอดของพาราโบลาของคุณจะเป็นจุด (h, k) - h ระบุพิกัด x ในขณะที่ k ระบุพิกัด y จุดยอดเป็นจุดศูนย์กลางในพาราโบลาของคุณ - ด้านล่างสุดของ "U" หรือด้านบนสุดของ "U" กลับหัว การรู้จุดยอดเป็นส่วนสำคัญของการสร้างกราฟพาราโบลาที่แม่นยำ - บ่อยครั้งในงานโรงเรียน การระบุจุดยอดจะเป็นส่วนที่จำเป็นของคำถาม

• ในตัวอย่างรูปแบบมาตรฐาน จุดยอดจะอยู่ที่ (-4, 7) ดังนั้นพาราโบลาของเราจะพีค 4 ช่องว่างทางด้านซ้ายของ 0 และ 7 ช่องว่างด้านบน (0, 0) เราควรพล็อตจุดนี้บนกราฟของเรา โดยต้องแน่ใจว่าได้ติดป้ายพิกัดไว้
• ในตัวอย่างแบบฟอร์มจุดยอด จุดยอดของเราอยู่ที่ (5, 12) เราควรพล็อตจุด 5 ช่องว่างทางด้านขวาและ 12 ช่องว่างด้านบน (0, 0)

ขั้นตอนที่ 6 วาดแกนของพาราโบลา (ไม่จำเป็น)

แกนสมมาตรของพาราโบลาคือเส้นที่ลากผ่านตรงกลางซึ่งแบ่งครึ่งได้อย่างลงตัว ข้ามแกนนี้ ด้านซ้ายของพาราโบลาจะสะท้อนด้านขวา สำหรับสมการกำลังสองของรูป ax² + bx + c หรือ a(x - h)² + k แกนเป็นเส้นตรงขนานกับแกน y (กล่าวคือ เป็นแนวตั้งอย่างสมบูรณ์) และผ่านจุดยอด

ในกรณีของตัวอย่างรูปแบบมาตรฐานของเรา แกนจะเป็นเส้นขนานกับแกน y และผ่านจุด (-4, 7) แม้ว่าจะไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของพาราโบลา แต่การทำเครื่องหมายเส้นนี้เบา ๆ บนกราฟจะช่วยให้คุณเห็นว่าเส้นโค้งพาราโบลามีความสมมาตรอย่างไร

ขั้นตอนที่ 7 ค้นหาทิศทางการเปิด

หลังจากหาจุดยอดและแกนของพาราโบลาแล้ว เราต้องรู้ว่าพาราโบลาเปิดขึ้นหรือลงหรือไม่ โชคดีที่นี่เป็นเรื่องง่าย ถ้า "a" เป็นค่าบวก พาราโบลาจะเปิดขึ้น ส่วนถ้า "a" เป็นลบ พาราโบลาจะเปิดลง (กล่าวคือ จะคว่ำลง)

• สำหรับตัวอย่างรูปแบบมาตรฐานของเรา (f(x) = 2x² +16x + 39) เรารู้ว่าเรามีพาราโบลาเปิดขึ้นเพราะในสมการของเรา a = 2 (บวก)
• สำหรับตัวอย่างแบบฟอร์มจุดยอดของเรา (f(x) = 4(x - 5)² +12) เรารู้ว่าเรามีพาราโบลาเปิดขึ้นด้วยเพราะ a = 4 (บวก)

ขั้นตอนที่ 8 หากจำเป็น ให้ค้นหาและวาดจุดตัด x

บ่อยครั้งในงานโรงเรียน คุณจะถูกขอให้หาจุดตัด x ของพาราโบลา (ซึ่งเป็นจุดหนึ่งหรือสองจุดที่พาราโบลามาบรรจบกับแกน x) แม้ว่าคุณจะหามันไม่เจอ จุดสองจุดนี้มีค่ามากสำหรับการวาดพาราโบลาที่แม่นยำ อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ว่าพาราโบลาทั้งหมดจะมีจุดตัด x หากพาราโบลาของคุณมีจุดยอดเปิดขึ้นและมีจุดยอดเหนือแกน x หรือหากเปิดลงและมีจุดยอดด้านล่างแกน x มันจะไม่มีการสกัดกั้น x ใดๆ. มิฉะนั้น ให้แก้หาค่าตัดแกน x ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:

• ตั้งค่า f(x) = 0 แล้วแก้สมการ วิธีนี้อาจใช้ได้กับสมการกำลังสองอย่างง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งในรูปแบบจุดยอด แต่จะพิสูจน์ได้ยากสำหรับวิธีที่ซับซ้อนกว่า ดูตัวอย่างด้านล่าง

  • ฉ(x) = 4(x - 12)² - 4
  • 0 = 4(x - 12)² - 4
  • 4 = 4(x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt(1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12 x = 11 และ 13 คือจุดตัด x ของพาราโบลา

• แยกตัวประกอบสมการของคุณ สมการบางสมการในขวาน² + bx + c สามารถแยกตัวประกอบในรูปแบบได้อย่างง่ายดาย (dx + e)(fx +g) โดยที่ dx × fx = axe², (dx × g + fx × e) = bx และ e × g = c ในกรณีนี้ ค่าตัดแกน x ของคุณคือค่าของ x ที่ทำให้เทอมใดเทอมหนึ่งอยู่ในวงเล็บ = 0 ตัวอย่างเช่น

  • NS² + 2x + 1
  • = (x + 1)(x + 1)
  • ในกรณีนี้ การสกัดกั้น x เพียงอย่างเดียวของคุณคือ -1 เนื่องจากการตั้งค่า x เท่ากับ -1 จะทำให้พจน์ที่แยกตัวประกอบในวงเล็บมีค่าเท่ากับ 0

• ใช้สูตรสมการกำลังสอง หากคุณไม่สามารถแก้หาจุดตัด x หรือแยกตัวประกอบสมการของคุณได้ง่ายๆ ให้ใช้สมการพิเศษที่เรียกว่าสูตรกำลังสองที่ออกแบบมาเพื่อจุดประสงค์นี้ ถ้ายังไม่มี ให้เอาสมการมาอยู่ในรูป ax² + bx + c จากนั้นแทน a, b และ c ลงในสูตร x = (-b +/- SqRt(b² - 4ac))/2a. โปรดทราบว่าสิ่งนี้มักจะให้คำตอบสองข้อสำหรับ x ซึ่งก็ใช้ได้ - นี่หมายความว่าพาราโบลาของคุณมีจุดตัด x สองครั้ง ดูตัวอย่างด้านล่าง:

  • -5x² + 1x + 10 เสียบเข้ากับสูตรกำลังสองดังนี้:
  • x = (-1 +/- SqRt(1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt(1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt(201))/-10
  • x = (-1 +/- 14.18)/-10
  • x = (13.18/-10) และ (-15.18/-10) จุดตัด x ของพาราโบลาอยู่ที่ประมาณ x = - 1.318 และ 1.518
  • ตัวอย่างแบบฟอร์มมาตรฐานก่อนหน้าของเรา 2x² + 16x + 39 เสียบเข้ากับสูตรกำลังสองดังนี้:
  • x = (-16 +/- SqRt(16.)² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt(256 - 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt(-56)/-10
  • เนื่องจากการหารากที่สองของจำนวนลบเป็นไปไม่ได้ เรารู้ว่า ไม่มีการสกัดกั้น x มีอยู่สำหรับพาราโบลานี้โดยเฉพาะ

ขั้นตอนที่ 9 หากจำเป็น ให้ค้นหาและวาดจุดตัดแกน y

แม้ว่ามักจะไม่จำเป็นต้องหาจุดตัดแกน y ของสมการ (จุดที่พาราโบลาผ่านแกน y) คุณก็อาจจำเป็นต้องทำ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากคุณอยู่ในโรงเรียน กระบวนการนี้ค่อนข้างง่าย - เพียงแค่ตั้งค่า x = 0 แล้วแก้สมการสำหรับ f(x) หรือ y ซึ่งให้ค่า y ที่พาราโบลาของคุณผ่านแกน y ซึ่งแตกต่างจากจุดตัด x พาราโบลามาตรฐานสามารถมีจุดตัด y ได้เพียงอันเดียว หมายเหตุ - สำหรับสมการรูปแบบมาตรฐาน จุดตัดแกน y อยู่ที่ y = c

• ตัวอย่างเช่น เรารู้สมการกำลังสองของเรา 2x² + 16x + 39 มีการสกัดกั้น y ที่ y = 39 แต่ก็สามารถหาได้ดังนี้:

  • ฉ(x) = 2x² + 16x + 39
  • ฉ(x) = 2(0)² + 16(0) + 39

  • f(x) = 39. จุดตัดแกน y ของพาราโบลาอยู่ที่ y = 39.

    ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น จุดตัด y อยู่ที่ y = c

• สมการรูปแบบจุดยอดของเรา 4(x - 5)² +12 มีการสกัดกั้น y ที่สามารถพบได้ดังนี้:

  • ฉ(x) = 4(x - 5)² + 12
  • ฉ(x) = 4(0 - 5)² + 12
  • ฉ(x) = 4(-5)² + 12
  • ฉ(x) = 4(25) + 12

  • f(x) = 112. จุดตัดแกน y ของพาราโบลาอยู่ที่ y = 112.

ขั้นตอนที่ 10 หากจำเป็น ให้พล็อตจุดเพิ่มเติม จากนั้นสร้างกราฟ

ตอนนี้คุณควรมีจุดยอด ทิศทาง จุดตัด x และอาจเป็นจุดตัด y สำหรับสมการของคุณ ณ จุดนี้ คุณสามารถลองวาดพาราโบลาโดยใช้คะแนนที่คุณมีเป็นแนวทาง หรือคุณสามารถหาจุดเพิ่มเติมเพื่อ "กรอก" พาราโบลาของคุณ เพื่อให้เส้นโค้งที่คุณวาดมีความแม่นยำมากขึ้น วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือเพียงเสียบค่า x สองสามค่าที่ด้านใดด้านหนึ่งของจุดยอดของคุณ จากนั้นพล็อตจุดเหล่านี้โดยใช้ค่า y ที่คุณได้รับ บ่อยครั้งที่ครูต้องการให้คุณได้รับคะแนนจำนวนหนึ่งก่อนที่คุณจะวาดพาราโบลา

• มาทบทวนสมการ x. กันอีกครั้ง² + 2x + 1 เรารู้แล้วว่าการสกัดกั้น x เพียงอย่างเดียวอยู่ที่ x = -1 เพราะมันแตะจุดตัด x ที่จุดหนึ่งเท่านั้น เราสามารถอนุมานได้ว่าจุดยอดของมันคือจุดตัด x ของมัน ซึ่งหมายความว่าจุดยอดของมันคือ (-1, 0) เรามีจุดเดียวสำหรับพาราโบลานี้อย่างมีประสิทธิภาพ - ไม่เพียงพอที่จะวาดพาราโบลาที่ดี มาหาอีกสองสามข้อเพื่อให้แน่ใจว่าเราวาดกราฟได้อย่างแม่นยำ

  • มาหาค่า y สำหรับค่า x ต่อไปนี้กัน: 0, 1, -2, และ -3
  • สำหรับ 0: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. ประเด็นของเราคือ (0, 1).

  • สำหรับ 1: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. ประเด็นของเราคือ (1, 4).

  • สำหรับ -2: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. ประเด็นของเราคือ (-2, 1).

  • สำหรับ -3: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. ประเด็นของเราคือ (-3, 4).

  • วาดจุดเหล่านี้ลงบนกราฟแล้ววาดเส้นโค้งรูปตัวยู โปรดทราบว่าพาราโบลามีความสมมาตรอย่างสมบูรณ์ - เมื่อจุดของคุณที่ด้านหนึ่งของพาราโบลาอยู่บนตัวเลขจำนวนเต็ม โดยปกติแล้ว คุณสามารถช่วยตัวเองทำงานบางอย่างได้โดยการสะท้อนจุดที่กำหนดผ่านแกนสมมาตรของพาราโบลาเพื่อหาจุดที่สอดคล้องกันในอีกด้านหนึ่ง ของพาราโบลา

วิดีโอ - การใช้บริการนี้ อาจมีการแบ่งปันข้อมูลบางอย่างกับ YouTube

เคล็ดลับ

• โปรดทราบว่าใน f(x) = ax² + bx + c ถ้า b หรือ c เท่ากับศูนย์ ตัวเลขเหล่านั้นจะหายไป ตัวอย่างเช่น 12x² + 0x + 6 กลายเป็น 12x² + 6 เพราะ 0x คือ 0
• ตัวเลขปัดเศษหรือใช้เศษส่วนตามที่ครูพีชคณิตบอก วิธีนี้จะช่วยให้คุณสร้างกราฟสมการกำลังสองได้อย่างเหมาะสม