Apollonian Gasket เป็นประเภทของภาพเศษส่วนที่เกิดขึ้นจากกลุ่มของวงกลมที่หดตัวตลอดเวลาที่อยู่ภายในวงกลมขนาดใหญ่เพียงวงเดียว วงกลมแต่ละวงใน Apollonian Gasket จะสัมผัสกับวงกลมที่อยู่ติดกัน - กล่าวอีกนัยหนึ่ง วงกลมใน Apollonian Gasket จะสัมผัสกันที่จุดเล็ก ๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ชื่อสำหรับนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Apollonius of Perga เศษส่วนประเภทนี้สามารถวาด (ด้วยมือหรือด้วยคอมพิวเตอร์) ในระดับความซับซ้อนที่เหมาะสม ทำให้เกิดภาพที่สวยงามและโดดเด่น ดูขั้นตอนที่ 1 ด้านล่างเพื่อเริ่มต้น
ขั้นตอน
ส่วนที่ 1 จาก 2: ทำความเข้าใจแนวคิดหลัก
เพื่อความชัดเจนโดยสมบูรณ์ หากคุณเพียงแค่สนใจที่จะวาด Apollonian Gasket คุณไม่จำเป็นต้องศึกษาหลักการทางคณิตศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลังเศษส่วน อย่างไรก็ตาม หากคุณต้องการความเข้าใจอย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับ Apollonian Gaskets สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจคำจำกัดความของแนวคิดต่างๆ ที่เราจะใช้เมื่อพูดถึงเรื่องเหล่านี้
ขั้นตอนที่ 1 กำหนดเงื่อนไขสำคัญ
คำต่อไปนี้ใช้ในคำแนะนำด้านล่าง:
- Apollonian Gasket: หนึ่งในหลายชื่อสำหรับประเภทของแฟร็กทัลที่ประกอบด้วยชุดของวงกลมที่ซ้อนกันอยู่ในวงกลมขนาดใหญ่หนึ่งวงและสัมผัสกันกับวงอื่นๆ ทั้งหมดที่อยู่ใกล้เคียง สิ่งเหล่านี้เรียกว่า "Soddy Circles" หรือ "Kissing Circles"
- รัศมีของวงกลม: ระยะทางจากจุดศูนย์กลางของวงกลมถึงขอบ มักจะกำหนดตัวแปร r
- ความโค้งของวงกลม: ค่าผกผันบวกหรือลบของรัศมี หรือ ±1/r ความโค้งเป็นบวกเมื่อจัดการกับความโค้งด้านนอกของวงกลมและค่าลบสำหรับความโค้งภายใน
- แทนเจนต์: คำที่ใช้กับเส้น ระนาบ และรูปร่างที่ตัดกันที่จุดเล็กๆ จุดหนึ่งอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ใน Apollonian Gaskets นี่หมายถึงความจริงที่ว่าแต่ละวงกลมสัมผัสแต่ละวงกลมที่อยู่ใกล้เคียงที่จุดเดียวเท่านั้น โปรดทราบว่าไม่มีทางแยก - รูปร่างสัมผัสกันไม่ทับซ้อนกัน
ขั้นตอนที่ 2 ทำความเข้าใจทฤษฎีบทของเดส์การต
ทฤษฎีบทของ Descartes เป็นสูตรที่มีประโยชน์สำหรับการคำนวณขนาดของวงกลมในปะเก็น Apollonian หากเรากำหนดความโค้ง (1/r) ของวงกลมสามวงใดๆ เป็น a, b และ c ตามลำดับ ทฤษฎีบทระบุว่าความโค้งของวงกลม (หรือวงกลม) แทนเจนต์ทั้งสาม ซึ่งเราจะกำหนดเป็น d คือ: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
สำหรับจุดประสงค์ของเรา โดยทั่วไป เราจะใช้เฉพาะคำตอบที่เราได้รับโดยใส่เครื่องหมายบวกหน้ารากที่สอง (หรืออีกนัยหนึ่งคือ … + 2 (sqrt(…)) เท่านี้ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้ว่าการลบ รูปแบบของสมการนำไปใช้ในงานอื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง
ส่วนที่ 2 จาก 2: การสร้าง Apollonian Gasket
ปะเก็น Apollonian อยู่ในรูปแบบของการจัดเรียงเศษส่วนที่สวยงามของวงกลมที่หดตัว ในทางคณิตศาสตร์ Apollonian Gaskets มีความซับซ้อนไม่สิ้นสุด แต่ไม่ว่าคุณจะใช้โปรแกรมวาดภาพด้วยคอมพิวเตอร์หรือเครื่องมือวาดภาพแบบดั้งเดิม คุณก็จะถึงจุดที่ไม่สามารถวาดวงกลมที่มีขนาดเล็กลงได้ โปรดทราบว่ายิ่งคุณวาดวงกลมได้แม่นยำมากเท่าไหร่ คุณก็จะสามารถใส่ปะเก็นของคุณได้มากขึ้นเท่านั้น
ขั้นตอนที่ 1 รวบรวมเครื่องมือวาดภาพดิจิทัลหรือแอนะล็อกของคุณ
ในขั้นตอนด้านล่าง เราจะสร้าง Apollonian Gasket แบบง่ายๆ ของเราเอง เป็นไปได้ที่จะวาด Apollonian Gaskets ด้วยมือหรือบนคอมพิวเตอร์ ไม่ว่าในกรณีใด คุณจะต้องสามารถวาดวงกลมได้อย่างสมบูรณ์แบบ สิ่งนี้ค่อนข้างสำคัญ เนื่องจากทุกวงใน Apollonian Gasket นั้นสัมผัสกันอย่างสมบูรณ์แบบกับวงกลมที่อยู่ติดกัน วงกลมที่ผิดรูปร่างไปเล็กน้อยก็สามารถ "ทิ้ง" ผลิตภัณฑ์สุดท้ายของคุณได้
- หากวาดปะเก็นบนคอมพิวเตอร์ คุณจะต้องใช้โปรแกรมที่ช่วยให้คุณวาดวงกลมรัศมีคงที่จากจุดศูนย์กลางได้อย่างง่ายดาย Gfig ซึ่งเป็นส่วนขยายการวาดเวกเตอร์สำหรับโปรแกรมแก้ไขรูปภาพฟรี GIMP สามารถใช้ได้ เช่นเดียวกับโปรแกรมวาดภาพอื่นๆ มากมาย (ดูส่วนเนื้อหาสำหรับลิงก์ที่เกี่ยวข้อง) คุณอาจต้องใช้แอปพลิเคชันเครื่องคิดเลขและเอกสารโปรแกรมประมวลผลคำหรือแผ่นจดบันทึกจริงเพื่อจดบันทึกความโค้งและรัศมี
- ในการวาดปะเก็นด้วยมือ คุณจะต้องใช้เครื่องคิดเลข (แนะนำให้ใช้ตามหลักวิทยาศาสตร์หรือกราฟ) ดินสอ เข็มทิศ ไม้บรรทัด (ควรเป็นมาตราส่วนที่มีเครื่องหมายมิลลิเมตร กระดาษกราฟ และสมุดจดสำหรับจดบันทึก
ขั้นตอนที่ 2 เริ่มต้นด้วยวงกลมขนาดใหญ่หนึ่งวง
งานแรกของคุณนั้นง่าย - แค่วาดวงกลมขนาดใหญ่ที่สมบูรณ์แบบหนึ่งวง ยิ่งวงกลมใหญ่มากเท่าไหร่ ปะเก็นของคุณก็จะยิ่งซับซ้อนมากขึ้นเท่านั้น ดังนั้นพยายามสร้างวงกลมให้ใหญ่ที่สุดเท่าที่กระดาษของคุณจะอนุญาตหรือใหญ่เท่าที่คุณสามารถมองเห็นได้ง่ายในหน้าต่างเดียวในโปรแกรมวาดภาพของคุณ
ขั้นตอนที่ 3 สร้างวงกลมเล็ก ๆ ภายในต้นฉบับ สัมผัสกับด้านใดด้านหนึ่ง
ถัดไป วาดวงกลมอีกวงหนึ่งในวงแรกที่เล็กกว่าเดิม แต่ก็ยังใหญ่พอสมควร ขนาดที่แน่นอนของวงกลมที่สองขึ้นอยู่กับคุณ - ไม่มีขนาดที่ถูกต้อง อย่างไรก็ตาม ตามจุดประสงค์ของเรา ลองวาดวงกลมที่สองของเราให้ถึงครึ่งทางของวงกลมวงนอกขนาดใหญ่ของเรา กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองวาดวงกลมที่สองเพื่อให้จุดศูนย์กลางเป็นจุดกึ่งกลางของรัศมีของวงกลมใหญ่
โปรดจำไว้ว่าใน Apollonian Gaskets วงกลมทั้งหมดที่สัมผัสกันจะสัมผัสกัน หากคุณกำลังใช้เข็มทิศวาดวงกลมด้วยมือ ให้สร้างเอฟเฟกต์นี้ขึ้นมาใหม่โดยวางจุดคมของเข็มทิศไว้ที่จุดกึ่งกลางของรัศมีวงนอกขนาดใหญ่ แล้วปรับดินสอของคุณให้แตะกับขอบของวงกลมใหญ่ แล้ววาดวงในที่เล็กลง
ขั้นตอนที่ 4. วาดวงกลมที่เหมือนกัน "ข้าม" วงกลมในวงที่เล็กกว่า
ต่อไป ลองวาดวงกลมอีกอันตรงข้ามกับอันแรกของเรา วงกลมนี้ควรสัมผัสกันทั้งวงนอกขนาดใหญ่และวงในที่เล็กกว่า ซึ่งหมายความว่าวงในทั้งสองของคุณจะสัมผัสกันที่จุดกึ่งกลางที่แน่นอนของวงกลมวงนอกขนาดใหญ่
ขั้นตอนที่ 5. ใช้ทฤษฎีบทของ Descartes เพื่อค้นหาขนาดของวงกลมถัดไปของคุณ
หยุดวาดสักทีเถอะ ตอนนี้เรามีวงกลมสามวงในปะเก็นแล้ว เราสามารถใช้ทฤษฎีบทของเดส์การตเพื่อค้นหารัศมีของวงกลมถัดไปที่เราจะวาด จำไว้ว่าทฤษฎีบทของเดส์การตคือ d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)) โดยที่ a, b และ c คือความโค้งของวงกลมแทนเจนต์สามวงของคุณ และ d คือความโค้งของวงกลมแทนเจนต์ของทั้งสาม เพื่อหารัศมีของวงกลมถัดไป ให้หาความโค้งของวงกลมแต่ละวงที่เรามีอยู่ เพื่อหาความโค้งของวงกลมถัดไป จากนั้นแปลงเป็นรัศมีของมัน
-
กำหนดรัศมีของวงกลมรอบนอกของเราเป็น
ขั้นตอนที่ 1.. เนื่องจากวงกลมอื่นๆ อยู่ภายในวงกลมนี้ เราจึงจัดการกับความโค้งภายในของมัน (แทนที่จะเป็นความโค้งภายนอก) และด้วยเหตุนี้ เราจึงรู้ว่าความโค้งของวงกลมนั้นเป็นลบ - 1/r = -1/1 = -1 ความโค้งของวงกลมใหญ่คือ - 1.
-
รัศมีของวงกลมเล็กกว่าครึ่งวงกลมใหญ่ หรืออีกนัยหนึ่งคือ 1/2 เนื่องจากวงกลมเหล่านี้สัมผัสกันและวงกลมขนาดใหญ่กับขอบด้านนอก เรากำลังจัดการกับความโค้งภายนอกของพวกมัน ดังนั้นความโค้งของพวกมันจึงเป็นบวก 1/(1/2) = 2 ความโค้งของวงกลมเล็กเป็นทั้งคู่
ขั้นตอนที่ 2..
-
ตอนนี้ เรารู้ว่า a = -1, b = 2 และ c = 2 สำหรับสมการทฤษฎีบทของเดส์การต มาแก้หา d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3 ความโค้งของวงกลมถัดไปคือ
ขั้นตอนที่ 3. เนื่องจาก 3 = 1/r รัศมีของวงกลมถัดไปคือ 1/3.
ขั้นตอนที่ 6 สร้างชุดของแวดวงถัดไป
ใช้ค่ารัศมีที่คุณเพิ่งพบเพื่อวาดวงกลมสองวงถัดไป จำไว้ว่าสิ่งเหล่านี้จะสัมผัสกับวงกลมที่คุณเคยใช้ความโค้งสำหรับ a, b และ c ในทฤษฎีบทของเดส์การต กล่าวอีกนัยหนึ่ง พวกเขาจะสัมผัสทั้งวงกลมเดิมและวงกลมที่สอง เพื่อให้วงกลมเหล่านี้สัมผัสกับวงกลมทั้งสาม คุณจะต้องวาดพวกมันในพื้นที่เปิดที่ด้านบนและด้านล่างของพื้นที่ภายในวงกลมเดิมขนาดใหญ่ของคุณ
จำไว้ว่ารัศมีของวงกลมเหล่านี้จะเท่ากับ 1/3 วัดด้านหลัง 1/3 จากขอบของวงกลมรอบนอก แล้ววาดวงกลมใหม่ มันควรจะสัมผัสกับทั้งสามของวงกลมโดยรอบ
ขั้นตอนที่ 7 ดำเนินการในลักษณะนี้เพื่อเพิ่มแวดวงต่อไป
เนื่องจากพวกมันเป็นแฟร็กทัล Apollonian Gaskets จึงซับซ้อนอย่างไม่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถเพิ่มวงกลมที่เล็กลงและเล็กลงในเนื้อหาหัวใจของคุณ คุณจำกัดความเที่ยงตรงของเครื่องมือของคุณเท่านั้น (หรือหากคุณใช้คอมพิวเตอร์ ความสามารถของโปรแกรมวาดภาพในการ "ซูมเข้า") วงกลมแต่ละวงไม่ว่าจะเล็กแค่ไหนก็ควรสัมผัสกันกับอีกสามวง ในการวาดวงกลมแต่ละวงที่ตามมาในปะเก็นของคุณ ให้เสียบความโค้งของวงกลมทั้งสามที่จะสัมผัสกันลงในทฤษฎีบทของเดส์การต จากนั้น ใช้คำตอบของคุณ (ซึ่งจะเป็นรัศมีของวงกลมใหม่ของคุณ) เพื่อวาดวงกลมใหม่ของคุณอย่างแม่นยำ
- โปรดทราบว่าปะเก็นที่เราเลือกวาดมีความสมมาตร ดังนั้นรัศมีของวงกลมหนึ่งวงจึงเท่ากับวงกลมที่สอดคล้องกัน "ตรงข้ามกับมัน" อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าไม่ใช่ทุกปะเก็น Apollonian ที่สมมาตร
-
มาพูดถึงอีกหนึ่งตัวอย่าง สมมุติว่าหลังจากวาดวงกลมชุดสุดท้ายแล้ว ตอนนี้เราต้องการวาดวงกลมที่สัมผัสกับเซตที่สาม เซตที่สอง และวงกลมวงนอกขนาดใหญ่ของเรา ความโค้งของวงกลมเหล่านี้คือ 3, 2 และ -1 ตามลำดับ ลองแทนค่าตัวเลขเหล่านี้ลงในทฤษฎีบทของเดส์การต โดยตั้งค่า a = -1, b = 2 และ c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. เรามีคำตอบสองข้อ! อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเรารู้ว่าวงกลมใหม่ของเราจะเล็กกว่าวงกลมใดๆ ที่มันสัมผัสกัน มีเพียงความโค้งของ
ขั้นตอนที่ 6 (และดังนั้นรัศมีของ 1/6) มีเหตุผล.
- คำตอบอื่น 2 ของเราหมายถึงวงกลมสมมุติที่อยู่อีกด้านหนึ่งของจุดสัมผัสของวงกลมที่สองและสาม วงกลมนี้ เป็น แทนเจนต์ของวงกลมทั้งสองวงนี้และกับวงกลมนอกขนาดใหญ่ แต่มันจะตัดกับวงกลมที่เราวาดไปแล้ว เราจึงไม่สนใจมัน
ขั้นตอนที่ 8 สำหรับความท้าทาย ลองทำ Apollonian Gasket ที่ไม่สมมาตรโดยเปลี่ยนขนาดของวงกลมที่สองของคุณ
ปะเก็น Apollonian ทั้งหมดเริ่มต้นเหมือนกัน - ด้วยวงกลมด้านนอกขนาดใหญ่ที่ทำหน้าที่เป็นขอบของเศษส่วน อย่างไรก็ตาม ไม่มีเหตุผลใดที่วงกลมที่สองของคุณจำเป็นต้องมีรัศมี 1/2 ของวงกลมวงแรก เราเพียงแค่เลือกทำข้างต้นเพราะมันง่ายและเข้าใจง่าย เพื่อความสนุก ให้ลองเริ่มปะเก็นใหม่ด้วยวงกลมที่สองที่มีขนาดต่างกัน ซึ่งจะนำไปสู่เส้นทางการสำรวจใหม่ที่น่าตื่นเต้น
