ฟังก์ชันตรรกยะคือสมการที่ใช้รูปแบบ y = N(x)/D(x) โดยที่ N และ D เป็นพหุนาม การพยายามร่างกราฟที่แม่นยำด้วยมือเดียวอาจเป็นการทบทวนหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายอย่างครอบคลุม ตั้งแต่พีชคณิตพื้นฐานไปจนถึงแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2)
ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1. หาจุดตัดแกน y
เพียงตั้งค่า x = 0 ทุกอย่างยกเว้นค่าคงที่จะหายไป เหลือ y = 5/2 แสดงเป็นคู่พิกัด (0, 5/2) คือจุดบนกราฟ กราฟจุดนั้น
ขั้นตอนที่ 2 ค้นหาเส้นกำกับแนวนอน
ลองแบ่งตัวส่วนเป็นตัวเศษเพื่อกำหนดพฤติกรรมของ y สำหรับค่าสัมบูรณ์ขนาดใหญ่ของ x ในตัวอย่างนี้ การหารแสดงว่า y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4) สำหรับค่าบวกหรือค่าลบจำนวนมากของ x 17/(8 x + 4) เข้าใกล้ศูนย์ และกราฟจะประมาณเส้นตรง y = (1/2) x - (7/4) ใช้เส้นประหรือเส้นเล็กๆ วาดกราฟเส้นนี้
- ถ้าดีกรีของตัวเศษน้อยกว่าดีกรีของตัวส่วน ไม่มีการหารที่ต้องทำ และเส้นกำกับคือ y = 0
- ถ้า deg(N) = deg(D) เส้นกำกับเป็นเส้นแนวนอนที่อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำหน้า
- ถ้า deg(N) = deg(D) + 1 เส้นกำกับคือเส้นที่มีความชันเป็นอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำหน้า
- ถ้า deg(N) > deg(D) + 1 ดังนั้นสำหรับค่าขนาดใหญ่ของ | x |, y ไปที่อนันต์บวกหรือลบอย่างรวดเร็วในรูปพหุนามกำลังสอง ลูกบาศก์ หรือดีกรีระดับที่สูงกว่า ในกรณีนี้ อาจไม่คุ้มค่าที่จะสร้างกราฟผลหารของการหารอย่างแม่นยำ
ขั้นตอนที่ 3 ค้นหาศูนย์
ฟังก์ชันตรรกยะมีศูนย์เมื่อตัวเศษเป็นศูนย์ ดังนั้นให้ตั้งค่า N(x) = 0 ในตัวอย่าง 2 x 2 - 6 x + 5 = 0 การเลือกปฏิบัติของกำลังสองนี้คือ b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4 เนื่องจาก discriminant เป็นค่าลบ N(x) และ f(x) จึงไม่มีรากที่แท้จริง กราฟไม่เคยข้ามแกน x หากพบศูนย์ใด ๆ ให้เพิ่มจุดเหล่านั้นลงในกราฟ
ขั้นตอนที่ 4 ค้นหาเส้นกำกับแนวตั้ง
เส้นกำกับแนวตั้งเกิดขึ้นเมื่อตัวส่วนเป็นศูนย์ การตั้งค่า 4 x + 2 = 0 ให้เส้นแนวตั้ง x = -1/2 สร้างกราฟเส้นกำกับแนวตั้งแต่ละรายการด้วยเส้นแสงหรือเส้นประ ถ้าค่า x บางค่าทำให้ทั้ง N(x) = 0 และ D(x) = 0 อาจมีหรือไม่มีเส้นกำกับแนวตั้งที่นั่น นี่เป็นของหายาก แต่ดูเคล็ดลับสำหรับวิธีจัดการกับมันหากเกิดขึ้น
ขั้นตอนที่ 5. ดูส่วนที่เหลือของการหารในขั้นตอนที่ 2
เมื่อไหร่จะเป็นบวก ลบ หรือศูนย์? ในตัวอย่าง ตัวเศษของเศษที่เหลือคือ 17 ซึ่งเป็นค่าบวกเสมอ ตัวส่วน 4 x + 2 เป็นบวกทางด้านขวาของเส้นกำกับแนวตั้งและลบไปทางซ้าย ซึ่งหมายความว่ากราฟเข้าใกล้เส้นกำกับเชิงเส้นจากด้านบนสำหรับค่าบวกขนาดใหญ่ของ x และจากด้านล่างสำหรับค่าลบขนาดใหญ่ของ x เนื่องจาก 17/(8 x + 4) ไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ กราฟนี้จึงไม่ตัดกับเส้น y = (1/2) x - (7/4) อย่าเพิ่งเพิ่มอะไรลงในกราฟ แต่ให้สังเกตข้อสรุปเหล่านี้ในภายหลัง
ขั้นตอนที่ 6 ค้นหา extrema ในพื้นที่
ปลายสุดในพื้นที่อาจเกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่ N'(x)D(x)- N(x)D'(x) = 0 ในตัวอย่าง N'(x) = 4 x - 6 และ D'(x) = 4. N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = (4 x - 6)(4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0 ขยาย รวมพจน์ และหารด้วย 4 ใบ x 2 + x - 4 = 0 สูตรกำลังสองแสดงรากใกล้ x = 3/2 และ x = -5/2 (สิ่งเหล่านี้แตกต่างประมาณ 0.06 จากค่าที่แน่นอน แต่กราฟของเราจะไม่แม่นยำพอที่จะกังวลเกี่ยวกับระดับของรายละเอียดนั้น การเลือกการประมาณอย่างมีเหตุผลที่เหมาะสมจะทำให้ขั้นตอนต่อไปง่ายขึ้น)
ขั้นตอนที่ 7 ค้นหาค่า y ของค่าสูงสุดในแต่ละส่วน
เสียบค่า x จากขั้นตอนก่อนหน้ากลับเข้าไปในฟังก์ชันตรรกยะเดิมเพื่อค้นหาค่า y ที่สอดคล้องกัน ในตัวอย่าง f(3/2) = 1/16 และ f(-5/2) = -65/16 เพิ่มจุดเหล่านี้ (3/2, 1/16) และ (-5/2, -65/16) ลงในกราฟ เนื่องจากเราประมาณไว้ในขั้นตอนที่แล้ว สิ่งเหล่านี้จึงไม่ใช่ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดที่แน่นอน แต่น่าจะใกล้เคียงกัน (เรารู้ว่า (3/2, 1/16) ใกล้เคียงกับค่าต่ำสุดในพื้นที่มาก จากขั้นตอนที่ 3 เรารู้ว่า y เป็นบวกเสมอเมื่อ x > -1/2 และเราพบค่าที่เล็กเพียง 1/16 อย่างน้อยในกรณีนี้ ข้อผิดพลาดน่าจะน้อยกว่าความหนาของเส้น)
ขั้นตอนที่ 8 เชื่อมต่อจุดและขยายกราฟอย่างราบรื่นจากจุดที่รู้จักไปยังเส้นกำกับที่ดูแลเข้าหาจุดเหล่านั้นจากทิศทางที่ถูกต้อง
ระวังอย่าข้ามแกน x ยกเว้นที่จุดที่พบในขั้นตอนที่ 3 แล้ว อย่าข้ามเส้นกำกับแนวนอนหรือเชิงเส้น ยกเว้นที่จุดที่พบในขั้นตอนที่ 5 แล้ว อย่าเปลี่ยนจากความชันขึ้นเป็นลาดลง ยกเว้นที่ สุดขั้วที่พบในขั้นตอนก่อนหน้า
วิดีโอ - การใช้บริการนี้ อาจมีการแบ่งปันข้อมูลบางอย่างกับ YouTube
เคล็ดลับ
- ขั้นตอนเหล่านี้บางขั้นตอนอาจเกี่ยวข้องกับการแก้พหุนามระดับสูง หากคุณไม่พบคำตอบที่แน่นอนผ่านการแยกตัวประกอบ สูตร หรือวิธีการอื่นๆ ให้ประมาณการคำตอบโดยใช้เทคนิคเชิงตัวเลข เช่น วิธีของนิวตัน
- หากคุณทำตามขั้นตอนตามลำดับ ปกติไม่จำเป็นต้องใช้การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองหรือวิธีการที่อาจซับซ้อนที่คล้ายคลึงกันในการพิจารณาว่าค่าวิกฤตเป็นค่าสูงสุดในเครื่อง ค่าต่ำสุดในเครื่อง หรือไม่ใช้ทั้งสองอย่าง ลองใช้ข้อมูลจากขั้นตอนก่อนหน้าและตรรกะเล็กน้อยก่อน
- หากคุณกำลังพยายามทำสิ่งนี้ด้วยวิธีแคลคูลัสเพียงอย่างเดียว คุณสามารถแทนที่ขั้นตอนเกี่ยวกับการค้นหา extrema ในพื้นที่โดยการคำนวณคู่ที่เรียงลำดับเพิ่มเติม (x, y) ระหว่างเส้นกำกับแต่ละคู่ อีกทางหนึ่ง หากคุณไม่สนใจว่าทำไมมันถึงได้ผล ก็ไม่มีเหตุผลใดที่นักเรียนพรีแคลคูลัสไม่สามารถหาอนุพันธ์ของพหุนามและแก้สมการ N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = 0.
-
ในบางกรณีซึ่งเกิดขึ้นไม่บ่อยนัก ตัวเศษและตัวส่วนอาจมีตัวประกอบที่ไม่คงที่ร่วมกัน หากคุณกำลังทำตามขั้นตอน ค่านี้จะแสดงเป็นศูนย์และเส้นกำกับแนวตั้งที่ตำแหน่งเดียวกัน นั่นเป็นไปไม่ได้ และสิ่งที่เกิดขึ้นจริงคือข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
- ศูนย์ใน N(x) มีหลายหลากที่สูงกว่าศูนย์ใน D(x) กราฟของ f (x) เข้าใกล้ศูนย์ ณ จุดนี้ แต่ไม่ได้กำหนดไว้ที่นั่น ระบุสิ่งนี้ด้วยวงกลมเปิดรอบจุด
- ศูนย์ใน N(x) และศูนย์ใน D(x) มีหลายหลากเท่ากัน กราฟเข้าใกล้จุดที่ไม่ใช่ศูนย์สำหรับค่า x นี้ แต่ไม่ได้กำหนดไว้ที่นั่น ระบุสิ่งนี้อีกครั้งด้วยวงกลมเปิด
- ศูนย์ใน N(x) มีความหลากหลายน้อยกว่าศูนย์ใน D(x) มีเส้นกำกับแนวตั้งอยู่ที่นี่
